2. Hurst Exponent (2) R/S

Step 1

1. Ranges
   • Let me have 15000 daily returns
     • 예시: Range 2: 15000/2, 즉 한 range에 7500개 데이터
       
       
2. Mean of each range
   • 각 range별 평균값 구함
   • 예를 들어, range를 2,3,4,5,6,10,20,30으로 정했다면 1+2+3+...+20+30 = 81개의 mean 값을 구함
   • $mean_s = m_s = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
     • s = series
     • n = the size of the range
     • X = one element in the range
       
       
3. Deviations for each range
   • $Y_t = X_t - m;\; for\; t=1,2,...n $
     • X = one element in the range
     • m = mean for the range
       
       
4. Total of the deviations
   • $y = \sum_{i=1}^{t}Y_t$
   • 각 range별 deviaion 값의 합 $\rightarrow$ 
   • 값이 클수록 해당하는 range의 deviation이 큼
     
     
5. Widest difference
   • $R_t = max(Y_1, Y_2,..., Y_t) - min(Y_1, Y_2,..., Y_t); \; for \; t=1,2,...,n$
     
     
6. Standard deviation for each range
   • $\sigma = \sqrt{\frac{1}{t} \sum_{i=1}^{t}{(X_i - m)}^2}; \; for \;t=1,2,...,n$
     
     
7. Rescaled range
   • $rescaled range = \left( \frac{R}{S} \right)_t = \frac{R_t}{\sigma_t}; \; for \; t=1,2,...,n$
8. Average rescaled range
   • 각 range 별 rescaled range의 평균을 구함
   • 위의 예시에서 9개 카테고리별 R/S의 평균값
     
     
     
     

Step 2

1. Calculate the logarithmic values of size and R/S

2. Plot the 1. of each series
   • x-axis: log(size)
   • y-axis: log(R/S)

3. Calculate the slope of 2.
   • 예를 들어 20년 1월부터 12월까지 기울기가 0.5이면 이 기간동안은 random process를 보였다고 해석
     
     
     
     

정리

• 1) 전체 t 개의 시계열 자료를 여러개의 부분적인 시계열로 나눈다. 2) 예를 들어 n개로 나눴다고 하면 n 구간의 deviation을 mean 값 기준으로 계산하고, 3) n개의 total sum of deviation의 max값과 min값의 차이를 R(n)이라고 한다. 4) 이것을 표준편차로 나눠서 scale을 조정하고 5) $ \ln{\frac{R(n)}{S(n)}}$ 과 $\frac{t}{n}$ 을 Linear regression 하여 나온 기울기를 구한다.
• Introduction 1 포스트에서 소개했던 허스트지수와 관련하여 이해해 보면, Variation을 구하는 방법이 time lag 사이의 단순 분산이었다면 R/S 비율 방법에서는 가장 큰 deviation sum 과 가장 작은 deviation sum의 차이이다. 전체 time series를 구간을 크게 나눌수록(time lag가 길수록) 평균으로부터 멀어지는 정도가 커진다면 momentum이 있을 것이고, 평균으로부터 멀어지는 정도가 작아지면 mean-reverting 경향이 있을 것이다.