Ch1. 금융에서의 Stochastic Process

1. 금융시장의 불확실성과 위험 관리

• 미래 시점에서 금융자산의 가격은 항상 불확실하다. 따라서 금융시장을 분석하기 위해서는 미래 가격을 확률적 모형으로 다뤄야 한다. 예를 들어 오늘 내가 매수한 종목의 가격이 20일 뒤에 어떻게 될 지는 경우에 따라 오를수도, 내릴수도 있다. 금융시장을 분석하기 위해 Stochastic Process 개념이 들어오게되는 이유이다. 또한 불확실성 즉, 위험 때문에 이를 관리할 필요가 있다. 예를 들어, 주가가 어떤 확률과정을 따른다고 가정하고 그에 따라 20일 뒤에 얼마인지 예측한다고 할 때 여러 경우의 수를 시뮬레이션 하여 분포가 어떻게 되는지 추정할 수 있다. 추정된 최소값, 최대값에 따라 옵션이나 선물을 매매하여 위험을 회피할 수도 있을 것이다. 

 

2. 확률과정

 (1) Parmeter 추정 

• 어떤 확률 과정을 따른다고 가정할 때, $mu$, $\sigma$ 등의 parameter를 추정할 수 있다.

 

 (2) 미래가치 분포 추정

• 추정된 parameter를 통해 미래가치의 분포를 알 수 있다. 

 

 

 

3. 확률미적분

 (1) 확률미적분의 필요성

• 우리가 다루려고 하는 위험자산(예를 들어 주식, 파생상품 등)은 수많은 우연이 개입되기 때문이 결정적이지 않다. 주가에 영향을 미치는 모든 요소를 파악하지 못하기 때문에 이를 Deterministic 하다고 할 수 없다. Deterministic 함수는 미적분의 표준적인 방법을 사용할 수 있다. 그러나 Determinisitic 세계관에서 Stochastic으로 미적분 방식을 함부로 확장하여 사용할 수 없으므로  '연속시간 Stochastic Process'인 금융시장에서는 우리가 알고 있는 표준적인 방법을 사용할 수 없다. 
• Brownian Motion의 경우 표본경로는 미분이 불가능하다. 브라운 운동의 변동량의 분산은 0이 아니며 불안정하게 변화한다. 따라서 어떤 시점 t에 대한 도함수가 존재할 수 없다. 그러나 뒤에서 살펴볼 확률과정에서 우리는 $dW_t$ 와 같은 개념들을 정의해야 한다. 이런 경우 우리가 평소에 배웠던 Riemann 적분이 아닌 확률미분방정식에서 쓰이는 Ito 적분의 개념이 필요하다.

 

  (2) Ito's Calculus 

 

  (3) Stochastic Differential Equation

• Dynamics 에 관한 모형
• $X_T$ 값 구하기: 우리가 다룰 확률 과정은 어떤 값의 변화량으로 정의된다. 예를 들어 Standard Brownian Motion의 경우 $dX_t = \mu dt + \sigma dW_t$ 로 정의되는데, 이 때 어떤 시점 $T$ 에서의 $X_T$ 값을 알고 싶다면 $t=0,...T-1$ 에서의 매번 path를 그려서 누적합을 구해야 한다. 따라서 SDE를 통해 해를 구해서 어떤 시점의 $X_T$ 값을 구하고자 한다.